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本帖最后由 cloudunfolded 于 2015-12-11 11:32 编辑
这篇帖子起源于上我的上一篇帖子中关于机翼升力理论的解释的部分。下载附件里面的回帖中，有人贴了其它一些网站的解释升力的文章。看了回帖后，我看到一个问题，写这些文章的人并不懂流体动力学，里面虽然有一些流体动力学的术语，摘抄一些流体动力学的结论，但他们不真正明白流体动力学是怎么回事，所以专门发一篇帖子来谈谈流体动力学。
首先从伯努利方程说起，人们使用这个方程主要是为了得到流速流速与流体内部压强的关系，常用的公式忽略了重力和阻力的影响，是因为这些影响小到可以忽视。实际上流体力学有考虑了重力和阻力的影响的伯努利方程。请看下图
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2015-12-10 16:23 上传
流体动力学本身主要是研究流体的速度场分布的问题。及在平面或者立体坐标中，得到某个点的速度，进而通过伯努利方程的到该点压强。这里面就牵涉很多高等数学和理论力学的知识。先说场的知识：如果你用火烧一块铁板的一角，你就会发现，铁板上各处温度不一样。如果你建立一个坐标，把每个点的记录下来，你就得到了一个温度场。这是标量场，而速度场是个矢量场。
处理矢量场必须要按照关于矢量的法则进行，具体大家可以看看《普通物理》，《理论力学》，《工程力学》等。再来说场，科学上研究的场几乎都是矢量场，即便是标量场也会通过计算梯度把标量场转化成矢量场。无论是何种矢量场都有本身的规律，这些规律对所有矢量场都起作用。
场的一个重要规律是，一个场的通量和环量至少得有一个存在。具体到流场，只有环量没有通量的流场叫有旋流场，只有通量没有环量的流场叫无旋流场（也叫位流场），如果两者都没有那场内各点的值都为零，流场就不存在了。但通量和环量都有的则可以分别先求无旋流场和有旋流场，然后两者按照矢量法则叠加成一个场来求解。这些大家可以看《流体力学》，《空气动力学》，《电动力学》(说个小故事,有次去一家很大的新华书店。看见店员想把《电动力学》放到电机类书里,我告诉他这本书应该放到电磁波及电磁场类的书,或者放到物理类的书也行。那个店员打量我一眼,就做出了判断。他显然认为对人穿着打扮的归类方法和对书籍的归类方法是一样方法，他自信地把那本《电动力学》放到了电机类。每当回想起这件事我就觉得乐不可支）。
有旋流场和无旋流场可以比喻为物理学讲的圆周运动和直线运动，当一个物体同时存在圆周运动和直线运动时，则分别求出物体的圆周运动和直线运动然后按照矢量法则叠加成一个运动。求解流场都是使用微积分的理论来进行的，根据种种情况列出对应的微分方程，然后将微分方程积分便得到结果，这种结果大多数是以函数表达出来，具体大家可以看看《高等数学》。这样求出的解是精确解，只要输入相关坐标的值，就可以得到这个点的完全没有误差的值。同时这种解也是解析解，它可以用解出的函数来分析场的变化。
关于流场的一个重要方程就是欧拉方程，针对三维立体坐标来说是一组三个偏微分方程。关于偏微分方程，大家需要去看《高等数学》下册。偏微分方程很难直接通过积分求出解，许多时候需要给出更多的限制才能解出。欧拉方程也是偏微分方程，针对理想流体提出来的，所谓理想流体就是没有粘性，也不能被压缩的流体。这样做就是为了方程能尽可能被解出。下面是欧拉方程
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2015-12-10 16:24 上传
但忽略粘性带来了麻烦，因为粘性可以使无旋流场变成有旋流场,这已经被实验证实。关于旋涡,大家经常可以看到河里的水有明显的旋涡。因为水在向一个方向流动，实际上有些旋涡是不易察觉的。你向河水里撒些碎泡沫塑料，行成某种图形。你会发现这个图形在变形，不仅仅是拉长，或者缩短，而且还有缓慢的扭转，这种扭转就是水的旋转运动造成的。数学上，在流体速度场上画一个封闭线，然后把速度沿这条线积分，如果积分不等于零，那么这个区域肯定存在旋转运动。具体可看《流体力学》，《空气动力学》中关于环量的部分。
实际上，机翼上下表面速度不同，画一条封闭曲线把机翼包起来，做速度的积分，那么这个积分是不会为零的。这就是说绕机翼流动的气流包含了旋转运动，存在环流，它是环流和位流的复合流。但欧拉方程无法解释为什么远处原本无旋的流场流过机翼后成了有旋的流场。它也不能反应出机翼能产生升力，并计算其大小。
但是欧拉方程可以求解原本有旋的流场的速度分布的函数，这时候的结果和那些计算流体环量定理的公式是一样。不去理会中间的过程，根据升力体的流场是无旋流场和有旋流场的复合流场的事实，直接分别计算无旋流场和有旋流场然后叠加，就能得到升力体在流场中的速度分布的函数。这就是茹可夫斯基用的办法。解出的函数可解释任何升力体的升力产生的大小，及变化原因，这包括任何翼型，也无论厚薄，甚至包括平板有迎角，或者弯折（就是我们常用的水平面尾翼）的情况。茹可夫斯基只计算了二维的流场，是因为当时对机翼的翼型产生升力的原因最感兴趣。
在茹可夫斯基升力理论的基础上，路德维希.普朗特(Ludwig Prandlt)把这个理论扩展到三维,提出了有限翼展的机翼理论（即升力线理论）。这一理论说有限翼展的机翼上的环流在超过机翼长度时，环流的中心线（就是环流的方向）会完全折向机尾与机身平行，产生升力的同时，会伴生诱导阻力，并给出诱导阻力的计算方法。
下面的图片是北航的《空气动力学》
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2015-12-10 16:24 上传
这是江苏大学的《流体力学》
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2015-12-10 16:25 上传
欧拉方程的另一个大问题是它求出的流场没有任何阻力，这被叫做达朗贝尔迷题。这是因为没有考虑流体粘性而导致的结果，首先是为了计算流体的阻力，推导出了纳维—斯托克司方程（Navier—Stokes）简称N-S方程。
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2015-12-10 16:26 上传
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2015-12-10 16:26 上传
这一方程虽然和欧拉方程相差不大，但是却更难解。而且只能得到一些没有多少实用价值情况下的解。因为流体的摩擦阻力主要发生在和流体接触的物体表面的一层的很薄的流体上，基于这一事实，路德维希.普朗特提出用纳维—斯托克司方程来计算这层流体的摩擦阻力。因为有了更多限制，就有了更多的已知条件解纳维—斯托克司方程。而这一和物体表面接触的很薄的空气层被叫做边界层（或者附面层）。
边界层从来没有用来分析过升力的理论，你显然不能指望那薄到极点的一层空气能脱起几百吨的飞机。所有升力的解释也不会提到边界层。纳维—斯托克司方程本身是针对整个流场，并不是只针对边界层，如果它能被解出。确实可以求出绕机翼流场的精确解，可以得到升力，阻力计算公式，但是这个流场的函数依然表示为纯无旋流场和纯有旋流场的复合流场。
实际上，《力学》（高等教育出版社）上指出，如果纳维—斯托克司方程被限定是无旋的流场，它将变成欧拉方程。请看下图
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2015-12-10 16:28 上传
图中的公式用的是偏微分方程的另一种写法（具体可看《高等数学》下）,而粘滞流体的动力学方程是指纳维—斯托克司方程,无粘滞流体的动力学方程是指欧拉方程。
另外说一下，现在兴起的计算流体力学，其实就是把纳维—斯托克司方程做成差分方程，然后用计算机反复计算，得到流场的数值，这个数值是有误差的。可以随着计算次数的无限增多，使数值无限逼近精确值，具体可看《数值分析》。这种结果没有函数式，很难看出影响流场的因素是什么，更难被理解。
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发表于 2016-3-6 04:52:05
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